Matematika Untuk Semua: HIMPUNAN

HIMPUNAN

Maret 21, 2017

, 0 Comments

Mata Pelajaran : Matematika

Materi : Himpunan

Kelas/ Semester : VII/ 2(Genap)

Standar Kompetensi :

Menggunakan konsep himpunan dan diagram Venn dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar :

Memahami pengertian dan notasi himpunan, serta penyajiannya

Memahami konsep himpunan bagian

Melakukan operasi irisan, gabungan, kurang (difference), dan komplemen pada himpunan

Menyajikan himpunan dengan diagram Venn

1. Pengertian Himpunan

Saat berada di kelas, kita sering temui hal-hal yang berkaitan dengan kegiatan belajar-mengajar, tanpa kita sadari terdapat kumpulan yang bisa menjadi suatu himpunan, sebagai contoh :

1. murid yang sedang belajar

2. guru yang sedang mengajar

3. bangku murid

4. meja guru

5. papan tulis

6. murid perempuan

7. murid laki-laki

Selanjutnya, perhatikan apa saja dan siapa saja yang terdapat di rumahmu. Coba sebutkan kumpulan apa saja yang dapat kamu bentuk dari benda-benda di rumahmu. Jadi, pada umumnya, kita berpikir suatu himpunan sebagai suatu koleksi objek-objek yang memberikan suatu sifat bersama. Contoh kumpulan objek yang merupakan himpunan adalah: siswa-siswa kelas 8A, kumpulan bilangan genap, kelompok siswa SMP Sejahtera yang mengikuti upacara, kumpulan hewan pemakan daging, dan lain-lain.

2. Notasi Himpunan

Himpunan dinyatakan dengan huruf kapital; A, B, C, N, P, dan sebagainya. Anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil, dalam kurung kurawal, dan anggota satu dengan yang lainnya dipisahkan dengan tanda koma. Anggota yang sama cukup ditulis sekali.

Contoh:

1.Himpunan huruf vokal dapat ditulis V = {a, i, u, e, o} dengan anggotanya; a, i, u, e, dan o.

2.Himpunan bilangan cacah dapat ditulis C = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} dengan anggotanya: 0, 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

3.Himpunan bilangan prima dapat ditulis P = {2, 3, 5, 7, . . .} dengan anggotanya: 2, 3, 5, 7, dan seterusnya.

4.K adalah himpunan huruf pembentuk kata “ MATEMATIKA”, dapat ditulis: K = {m, a, t, e, i, k} atau K = {k, a, t, e, m, i}, bukan K = {m, a, t, e, m, a, t, i, k, a}.

Anggota himpunan pada contoh 1 dan 4 berhingga. Himpunan seperti ini disebut himpunan berhingga. Sedangkan contoh 2 dan 3 mempunyai anggota tak terbatas (dicirikan dengan tiga buah titik terakhir). Himpunan seperti ini disebut himpunan tak berhingga.

3. Anggota Himpunan

Simbol anggota satu himpunan dapat dituliskan sebagai berikut:

· Bila x anggota A, maka ditulis x

A

· Bila x bukan anggota A, maka ditulis x

A

Menentukan banyaknya anggota suatu himpunan berarti menghitung anggota himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n (A).

4. Menyatakan Himpunan

Menyatakan suatu himpunan dapat dilakukan dengan cara: Kata-kata (metode deskripsi), mendaftar (metode tabulasi/roster), notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat/rule)

1. Dengan kata-kata (metode deskripsi)

Menuliskan suatu himpunan dengan kata-kata atau pernyataan untuk menunjukkan syarat keanggotaannya dan syarat keanggotaanya harus dinyatakan dengan jelas.

2. Dengan cara mendaftar (metode tabulasi/roster),

Dengan metode ini, anggota himpunan yang disebutkan satu per satu dalam kurung kurawal yang setiap anggota himpunan dipisah kan dengan tanda koma.

3. Dengan notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat/rule)

Pada cara ini himpunan dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan, anggotanya dilambangkan dengan variabel kemudian diikuti dengan pernyataan matematika yang menggambarkan syarat keanggotaanya.

5. Pengertian Himpunan Bagian

Himpunan A disebut sebagai himpunan bagian dari B jika setiap anggota A juga menjadi anggota himpunan B. Lambang yang menyatakan himpunan bagian adalah “

”. Jika B = {1, 2, 3} maka himpunan bagiannya adalah: { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. Ketentuan-ketentuan dalam himpunan bagian, antara lain:

· Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

· Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri. Untuk sembarang himpunan A, berlaku A

A

Apabila banyaknya anggota himpunan adalah n buah, maka banyaknya himpunan bagian dari himpunan tersebut sama dengan

6. Operasi pada Himpunan (Irisan dan Gabungan)

A. Irisan

Irisan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A sekaligus anggota B. secara matematis ditulis :

.

Dilihat dari persekutuan dua himpunan, irisan dua himpunan dapat ditentukan:

1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain

Jika

maka

dan berlaku sebaliknya

2. Himpunan yang sama

Jika

, maka

3. Himpunan yang saling lepas

Jika

, maka

dan berlaku sebaliknya

4. Himpunan yang tidak saling lepas

B. Gabungan

Gabungan dari A dan B adalah himpunan yang semua anggotanya terdapat pada A atau B. secara matematis ditulis:

Dilihat dari persekutuan dua himpunan, gabungan dua himpunan dapat ditentukan:

1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain

Jika

maka

dan berlaku sebaliknya

2. Himpunan yang sama

Jika

, maka

3. Himpunan yang saling lepas

Jika

, maka

dan berlaku sebaliknya

4. Himpunan yang tidak saling lepas

Jika

, maka

C. Komplemen

Jika S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan A = {3, 4, 5}, maka A

S. himpunan {1, 2, 6, 7} juga disebut himpunan bagian dari himpunan S. himpunan tersebut adalah himpunan himpunan komplemen atau pelengkap dari himpunan A atau disebut komplemen dari A yang dibaca “bukan A”.

Dalam himpunan komplemen berlaku:

·

Komplemen dari S adalah S’, karena S adalah himpunan semesta maka S’ adalah himpunan kosong dan ditulis S’ = {…}, sebaliknya {…}’ = S, sehingga berlaku:

· {…}’ = S

· S’ = {…}

· (A’)’ = A

D. Selisih Dua Himpunan

Komplemen A terhadap B ditulis B – A adalah himpunan yang ada di B tetapi tidak ada di A, sebaliknya komplemen B terhadap A ditulis A – B adalah himpunan yang di A tetapi tidak ada di B. secara umum berlaku:

·